"super" binary number system

For the discussion of math. Duh.

Moderators: gmalivuk, Moderators General, Prelates

Cradarc
Posts: 455
Joined: Fri Nov 28, 2014 11:30 pm UTC

"super" binary number system

Postby Cradarc » Sat Feb 20, 2016 10:07 pm UTC

I've been musing about a particular numbering system which may already exist (if it does, please link me to info!). It's very similar to binary except that the nth digit can take on n+1 different values instead of just two. I will only be working with integers, but perhaps it can be expanded into rationals as well.
Note that there are multiple representations for almost every integer in this system. In fact, normal binary representations are a subset of "super" binary. Let the representation that requires the fewest number of digits be the Condensed Super Binary Representation (CSBR).

Counting up in CSBR will go like this: 0, 1, 10, 11, 20, 21, 110, 111, 200, 201, 210, 211, etc.

I am aware that this numbering system is impractical/inefficient. An n digit number will require n+1 unique symbols, and many of them will rarely be used. I'm looking at it from a theoretical perspective.

There is a pretty elegant way to convert CSBR into normal binary:
1. Start from the lowest valued digit and work your way up.
2. While digit is 0 or 1, advance to next digit and repeat test.
3. If digit is not 0 or 1, decrement digit by 2 and continue to step 4.
4. While next digit is not 0, advance to next digit and decrement it by 1.
5. If next digit is 0, advance to next digit and increment it by 1. Then go to step 1.

I'm struggling to find an equally elegant way to go the other way. That is, convert a binary into its CSBR. Reversing the above algorithm is tricky because its hard to determine where to stop and you have to backtrack.
This is a block of text that can be added to posts you make. There is a 300 character limit.

User avatar
chridd
Has a vermicelli title
Posts: 846
Joined: Tue Aug 19, 2008 10:07 am UTC
Location: ...Earth, I guess?
Contact:

Re: "super" binary number system

Postby chridd » Sat Feb 20, 2016 11:04 pm UTC

This seems similar to, but not the same as, factorial base (also discussed here).
~ chri d. d. /tʃɹɪ.di.di/ (Phonotactics, schmphonotactics) · she · Forum game scores
mittfh wrote:I wish this post was very quotable...

User avatar
Flumble
Yes Man
Posts: 2266
Joined: Sun Aug 05, 2012 9:35 pm UTC

Re: "super" binary number system

Postby Flumble » Sat Feb 20, 2016 11:21 pm UTC

As you may or may not have seen, the "place value" of each digit is n!, so the first digit is units, the second is pairs, the third is heximals(?) etc. It's known as the factorial number system.
After actually reading more than one paragraph of your post, this is not the case. While the available digits increases, the place value is always a successive power of two.
I don't really see the point of replacing k bits ahead by a digit with 2^k+2 values.


Cradarc wrote:I'm struggling to find an equally elegant way to go the other way. That is, convert a binary into its CSBR. Reversing the above algorithm is tricky because its hard to determine where to stop and you have to backtrack.

Well, instead of backtracking/recursion, you can store (invalid) temporary results in your number while converting it, just like you do in the conversion to binary.
I hypothesize that, worst case, you have to look all the way from bit n=k+lb(k) to 0 to find out whether you can compact bits n..k to one digit for the shortest representation, or whether you can only accumulate bits n..k+1.

User avatar
chridd
Has a vermicelli title
Posts: 846
Joined: Tue Aug 19, 2008 10:07 am UTC
Location: ...Earth, I guess?
Contact:

Re: "super" binary number system

Postby chridd » Sun Feb 21, 2016 1:38 am UTC

I think this will work to convert a number to CSBR: Start from the right end of the number, and always choose the highest digit you can. "Highest digit you can" is constrained by the digits allowed, whether the digit is even or odd, and what digits won't cause the number to be too large.
Or, in more detail:

Code: Select all

num starts as the number we want to convert
while num > 0
    if num is even, choose the highest possible even digit that can go in that place
    if num is odd, choose the highest possible odd digit that can go in that place
    if the digit you chose is greater than num, make the digit equal to num
    put that digit at the beginning of the result
    subtract the digit from num, and then divide num by 2


Or, in Perl code:
Spoiler:

Code: Select all

#! /usr/bin/perl
# http://forums.xkcd.com/viewtopic.php?f=17&t=113504&view=unread#unread

sub supbin {
   # num starts as the number we want to convert
   my $num = $_[0];
   my $result = '';
   # max_digit is the maximum possible value for the current digit
   my $max_digit = 1;
   do {
      # choose the current digit:
      # depending on whether num is even or odd, choose either the
      # highest even digit that I can, or the highest odd digit
      # that I can.
      my $cur_digit;
      if($num % 2 == 0) {
         $cur_digit = int($max_digit/2)*2;
      } else {
         $cur_digit = int(($max_digit-1)/2)*2+1;
      }
      # if the digit is larger than num, make it equal to num
      $cur_digit = $num if $cur_digit > $num;
      # add that digit to the beginning of the result
      $result = $cur_digit . $result;
      # subtract the current digit from num, then divide by 2
      $num -= $cur_digit;
      $num /= 2;
      # the maximum value for the next digit is one more than the
      # current digit
      $max_digit++;
   } while($num > 0);
   return $result;
}

for my $i (0..1024) {
   printf '%4d %11b %11s'."\n", $i, $i, supbin($i);
}


Output:

Code: Select all

   0           0           0
   1           1           1
   2          10          10
   3          11          11
   4         100          20
   5         101          21
   6         110         110
   7         111         111
   8        1000         120
   9        1001         121
  10        1010         210
  11        1011         211
  12        1100         220
  13        1101         221
  14        1110         310
  15        1111         311
  16       10000         320
  17       10001         321

Longer output:
Spoiler:

Code: Select all

   0           0           0
   1           1           1
   2          10          10
   3          11          11
   4         100          20
   5         101          21
   6         110         110
   7         111         111
   8        1000         120
   9        1001         121
  10        1010         210
  11        1011         211
  12        1100         220
  13        1101         221
  14        1110         310
  15        1111         311
  16       10000         320
  17       10001         321
  18       10010        1210
  19       10011        1211
  20       10100        1220
  21       10101        1221
  22       10110        1310
  23       10111        1311
  24       11000        1320
  25       11001        1321
  26       11010        2210
  27       11011        2211
  28       11100        2220
  29       11101        2221
  30       11110        2310
  31       11111        2311
  32      100000        2320
  33      100001        2321
  34      100010        3210
  35      100011        3211
  36      100100        3220
  37      100101        3221
  38      100110        3310
  39      100111        3311
  40      101000        3320
  41      101001        3321
  42      101010        4210
  43      101011        4211
  44      101100        4220
  45      101101        4221
  46      101110        4310
  47      101111        4311
  48      110000        4320
  49      110001        4321
  50      110010       13210
  51      110011       13211
  52      110100       13220
  53      110101       13221
  54      110110       13310
  55      110111       13311
  56      111000       13320
  57      111001       13321
  58      111010       14210
  59      111011       14211
  60      111100       14220
  61      111101       14221
  62      111110       14310
  63      111111       14311
  64     1000000       14320
  65     1000001       14321
  66     1000010       23210
  67     1000011       23211
  68     1000100       23220
  69     1000101       23221
  70     1000110       23310
  71     1000111       23311
  72     1001000       23320
  73     1001001       23321
  74     1001010       24210
  75     1001011       24211
  76     1001100       24220
  77     1001101       24221
  78     1001110       24310
  79     1001111       24311
  80     1010000       24320
  81     1010001       24321
  82     1010010       33210
  83     1010011       33211
  84     1010100       33220
  85     1010101       33221
  86     1010110       33310
  87     1010111       33311
  88     1011000       33320
  89     1011001       33321
  90     1011010       34210
  91     1011011       34211
  92     1011100       34220
  93     1011101       34221
  94     1011110       34310
  95     1011111       34311
  96     1100000       34320
  97     1100001       34321
  98     1100010       43210
  99     1100011       43211
 100     1100100       43220
 101     1100101       43221
 102     1100110       43310
 103     1100111       43311
 104     1101000       43320
 105     1101001       43321
 106     1101010       44210
 107     1101011       44211
 108     1101100       44220
 109     1101101       44221
 110     1101110       44310
 111     1101111       44311
 112     1110000       44320
 113     1110001       44321
 114     1110010       53210
 115     1110011       53211
 116     1110100       53220
 117     1110101       53221
 118     1110110       53310
 119     1110111       53311
 120     1111000       53320
 121     1111001       53321
 122     1111010       54210
 123     1111011       54211
 124     1111100       54220
 125     1111101       54221
 126     1111110       54310
 127     1111111       54311
 128    10000000       54320
 129    10000001       54321
 130    10000010      143210
 131    10000011      143211
 132    10000100      143220
 133    10000101      143221
 134    10000110      143310
 135    10000111      143311
 136    10001000      143320
 137    10001001      143321
 138    10001010      144210
 139    10001011      144211
 140    10001100      144220
 141    10001101      144221
 142    10001110      144310
 143    10001111      144311
 144    10010000      144320
 145    10010001      144321
 146    10010010      153210
 147    10010011      153211
 148    10010100      153220
 149    10010101      153221
 150    10010110      153310
 151    10010111      153311
 152    10011000      153320
 153    10011001      153321
 154    10011010      154210
 155    10011011      154211
 156    10011100      154220
 157    10011101      154221
 158    10011110      154310
 159    10011111      154311
 160    10100000      154320
 161    10100001      154321
 162    10100010      243210
 163    10100011      243211
 164    10100100      243220
 165    10100101      243221
 166    10100110      243310
 167    10100111      243311
 168    10101000      243320
 169    10101001      243321
 170    10101010      244210
 171    10101011      244211
 172    10101100      244220
 173    10101101      244221
 174    10101110      244310
 175    10101111      244311
 176    10110000      244320
 177    10110001      244321
 178    10110010      253210
 179    10110011      253211
 180    10110100      253220
 181    10110101      253221
 182    10110110      253310
 183    10110111      253311
 184    10111000      253320
 185    10111001      253321
 186    10111010      254210
 187    10111011      254211
 188    10111100      254220
 189    10111101      254221
 190    10111110      254310
 191    10111111      254311
 192    11000000      254320
 193    11000001      254321
 194    11000010      343210
 195    11000011      343211
 196    11000100      343220
 197    11000101      343221
 198    11000110      343310
 199    11000111      343311
 200    11001000      343320
 201    11001001      343321
 202    11001010      344210
 203    11001011      344211
 204    11001100      344220
 205    11001101      344221
 206    11001110      344310
 207    11001111      344311
 208    11010000      344320
 209    11010001      344321
 210    11010010      353210
 211    11010011      353211
 212    11010100      353220
 213    11010101      353221
 214    11010110      353310
 215    11010111      353311
 216    11011000      353320
 217    11011001      353321
 218    11011010      354210
 219    11011011      354211
 220    11011100      354220
 221    11011101      354221
 222    11011110      354310
 223    11011111      354311
 224    11100000      354320
 225    11100001      354321
 226    11100010      443210
 227    11100011      443211
 228    11100100      443220
 229    11100101      443221
 230    11100110      443310
 231    11100111      443311
 232    11101000      443320
 233    11101001      443321
 234    11101010      444210
 235    11101011      444211
 236    11101100      444220
 237    11101101      444221
 238    11101110      444310
 239    11101111      444311
 240    11110000      444320
 241    11110001      444321
 242    11110010      453210
 243    11110011      453211
 244    11110100      453220
 245    11110101      453221
 246    11110110      453310
 247    11110111      453311
 248    11111000      453320
 249    11111001      453321
 250    11111010      454210
 251    11111011      454211
 252    11111100      454220
 253    11111101      454221
 254    11111110      454310
 255    11111111      454311
 256   100000000      454320
 257   100000001      454321
 258   100000010      543210
 259   100000011      543211
 260   100000100      543220
 261   100000101      543221
 262   100000110      543310
 263   100000111      543311
 264   100001000      543320
 265   100001001      543321
 266   100001010      544210
 267   100001011      544211
 268   100001100      544220
 269   100001101      544221
 270   100001110      544310
 271   100001111      544311
 272   100010000      544320
 273   100010001      544321
 274   100010010      553210
 275   100010011      553211
 276   100010100      553220
 277   100010101      553221
 278   100010110      553310
 279   100010111      553311
 280   100011000      553320
 281   100011001      553321
 282   100011010      554210
 283   100011011      554211
 284   100011100      554220
 285   100011101      554221
 286   100011110      554310
 287   100011111      554311
 288   100100000      554320
 289   100100001      554321
 290   100100010      643210
 291   100100011      643211
 292   100100100      643220
 293   100100101      643221
 294   100100110      643310
 295   100100111      643311
 296   100101000      643320
 297   100101001      643321
 298   100101010      644210
 299   100101011      644211
 300   100101100      644220
 301   100101101      644221
 302   100101110      644310
 303   100101111      644311
 304   100110000      644320
 305   100110001      644321
 306   100110010      653210
 307   100110011      653211
 308   100110100      653220
 309   100110101      653221
 310   100110110      653310
 311   100110111      653311
 312   100111000      653320
 313   100111001      653321
 314   100111010      654210
 315   100111011      654211
 316   100111100      654220
 317   100111101      654221
 318   100111110      654310
 319   100111111      654311
 320   101000000      654320
 321   101000001      654321
 322   101000010     1543210
 323   101000011     1543211
 324   101000100     1543220
 325   101000101     1543221
 326   101000110     1543310
 327   101000111     1543311
 328   101001000     1543320
 329   101001001     1543321
 330   101001010     1544210
 331   101001011     1544211
 332   101001100     1544220
 333   101001101     1544221
 334   101001110     1544310
 335   101001111     1544311
 336   101010000     1544320
 337   101010001     1544321
 338   101010010     1553210
 339   101010011     1553211
 340   101010100     1553220
 341   101010101     1553221
 342   101010110     1553310
 343   101010111     1553311
 344   101011000     1553320
 345   101011001     1553321
 346   101011010     1554210
 347   101011011     1554211
 348   101011100     1554220
 349   101011101     1554221
 350   101011110     1554310
 351   101011111     1554311
 352   101100000     1554320
 353   101100001     1554321
 354   101100010     1643210
 355   101100011     1643211
 356   101100100     1643220
 357   101100101     1643221
 358   101100110     1643310
 359   101100111     1643311
 360   101101000     1643320
 361   101101001     1643321
 362   101101010     1644210
 363   101101011     1644211
 364   101101100     1644220
 365   101101101     1644221
 366   101101110     1644310
 367   101101111     1644311
 368   101110000     1644320
 369   101110001     1644321
 370   101110010     1653210
 371   101110011     1653211
 372   101110100     1653220
 373   101110101     1653221
 374   101110110     1653310
 375   101110111     1653311
 376   101111000     1653320
 377   101111001     1653321
 378   101111010     1654210
 379   101111011     1654211
 380   101111100     1654220
 381   101111101     1654221
 382   101111110     1654310
 383   101111111     1654311
 384   110000000     1654320
 385   110000001     1654321
 386   110000010     2543210
 387   110000011     2543211
 388   110000100     2543220
 389   110000101     2543221
 390   110000110     2543310
 391   110000111     2543311
 392   110001000     2543320
 393   110001001     2543321
 394   110001010     2544210
 395   110001011     2544211
 396   110001100     2544220
 397   110001101     2544221
 398   110001110     2544310
 399   110001111     2544311
 400   110010000     2544320
 401   110010001     2544321
 402   110010010     2553210
 403   110010011     2553211
 404   110010100     2553220
 405   110010101     2553221
 406   110010110     2553310
 407   110010111     2553311
 408   110011000     2553320
 409   110011001     2553321
 410   110011010     2554210
 411   110011011     2554211
 412   110011100     2554220
 413   110011101     2554221
 414   110011110     2554310
 415   110011111     2554311
 416   110100000     2554320
 417   110100001     2554321
 418   110100010     2643210
 419   110100011     2643211
 420   110100100     2643220
 421   110100101     2643221
 422   110100110     2643310
 423   110100111     2643311
 424   110101000     2643320
 425   110101001     2643321
 426   110101010     2644210
 427   110101011     2644211
 428   110101100     2644220
 429   110101101     2644221
 430   110101110     2644310
 431   110101111     2644311
 432   110110000     2644320
 433   110110001     2644321
 434   110110010     2653210
 435   110110011     2653211
 436   110110100     2653220
 437   110110101     2653221
 438   110110110     2653310
 439   110110111     2653311
 440   110111000     2653320
 441   110111001     2653321
 442   110111010     2654210
 443   110111011     2654211
 444   110111100     2654220
 445   110111101     2654221
 446   110111110     2654310
 447   110111111     2654311
 448   111000000     2654320
 449   111000001     2654321
 450   111000010     3543210
 451   111000011     3543211
 452   111000100     3543220
 453   111000101     3543221
 454   111000110     3543310
 455   111000111     3543311
 456   111001000     3543320
 457   111001001     3543321
 458   111001010     3544210
 459   111001011     3544211
 460   111001100     3544220
 461   111001101     3544221
 462   111001110     3544310
 463   111001111     3544311
 464   111010000     3544320
 465   111010001     3544321
 466   111010010     3553210
 467   111010011     3553211
 468   111010100     3553220
 469   111010101     3553221
 470   111010110     3553310
 471   111010111     3553311
 472   111011000     3553320
 473   111011001     3553321
 474   111011010     3554210
 475   111011011     3554211
 476   111011100     3554220
 477   111011101     3554221
 478   111011110     3554310
 479   111011111     3554311
 480   111100000     3554320
 481   111100001     3554321
 482   111100010     3643210
 483   111100011     3643211
 484   111100100     3643220
 485   111100101     3643221
 486   111100110     3643310
 487   111100111     3643311
 488   111101000     3643320
 489   111101001     3643321
 490   111101010     3644210
 491   111101011     3644211
 492   111101100     3644220
 493   111101101     3644221
 494   111101110     3644310
 495   111101111     3644311
 496   111110000     3644320
 497   111110001     3644321
 498   111110010     3653210
 499   111110011     3653211
 500   111110100     3653220
 501   111110101     3653221
 502   111110110     3653310
 503   111110111     3653311
 504   111111000     3653320
 505   111111001     3653321
 506   111111010     3654210
 507   111111011     3654211
 508   111111100     3654220
 509   111111101     3654221
 510   111111110     3654310
 511   111111111     3654311
 512  1000000000     3654320
 513  1000000001     3654321
 514  1000000010     4543210
 515  1000000011     4543211
 516  1000000100     4543220
 517  1000000101     4543221
 518  1000000110     4543310
 519  1000000111     4543311
 520  1000001000     4543320
 521  1000001001     4543321
 522  1000001010     4544210
 523  1000001011     4544211
 524  1000001100     4544220
 525  1000001101     4544221
 526  1000001110     4544310
 527  1000001111     4544311
 528  1000010000     4544320
 529  1000010001     4544321
 530  1000010010     4553210
 531  1000010011     4553211
 532  1000010100     4553220
 533  1000010101     4553221
 534  1000010110     4553310
 535  1000010111     4553311
 536  1000011000     4553320
 537  1000011001     4553321
 538  1000011010     4554210
 539  1000011011     4554211
 540  1000011100     4554220
 541  1000011101     4554221
 542  1000011110     4554310
 543  1000011111     4554311
 544  1000100000     4554320
 545  1000100001     4554321
 546  1000100010     4643210
 547  1000100011     4643211
 548  1000100100     4643220
 549  1000100101     4643221
 550  1000100110     4643310
 551  1000100111     4643311
 552  1000101000     4643320
 553  1000101001     4643321
 554  1000101010     4644210
 555  1000101011     4644211
 556  1000101100     4644220
 557  1000101101     4644221
 558  1000101110     4644310
 559  1000101111     4644311
 560  1000110000     4644320
 561  1000110001     4644321
 562  1000110010     4653210
 563  1000110011     4653211
 564  1000110100     4653220
 565  1000110101     4653221
 566  1000110110     4653310
 567  1000110111     4653311
 568  1000111000     4653320
 569  1000111001     4653321
 570  1000111010     4654210
 571  1000111011     4654211
 572  1000111100     4654220
 573  1000111101     4654221
 574  1000111110     4654310
 575  1000111111     4654311
 576  1001000000     4654320
 577  1001000001     4654321
 578  1001000010     5543210
 579  1001000011     5543211
 580  1001000100     5543220
 581  1001000101     5543221
 582  1001000110     5543310
 583  1001000111     5543311
 584  1001001000     5543320
 585  1001001001     5543321
 586  1001001010     5544210
 587  1001001011     5544211
 588  1001001100     5544220
 589  1001001101     5544221
 590  1001001110     5544310
 591  1001001111     5544311
 592  1001010000     5544320
 593  1001010001     5544321
 594  1001010010     5553210
 595  1001010011     5553211
 596  1001010100     5553220
 597  1001010101     5553221
 598  1001010110     5553310
 599  1001010111     5553311
 600  1001011000     5553320
 601  1001011001     5553321
 602  1001011010     5554210
 603  1001011011     5554211
 604  1001011100     5554220
 605  1001011101     5554221
 606  1001011110     5554310
 607  1001011111     5554311
 608  1001100000     5554320
 609  1001100001     5554321
 610  1001100010     5643210
 611  1001100011     5643211
 612  1001100100     5643220
 613  1001100101     5643221
 614  1001100110     5643310
 615  1001100111     5643311
 616  1001101000     5643320
 617  1001101001     5643321
 618  1001101010     5644210
 619  1001101011     5644211
 620  1001101100     5644220
 621  1001101101     5644221
 622  1001101110     5644310
 623  1001101111     5644311
 624  1001110000     5644320
 625  1001110001     5644321
 626  1001110010     5653210
 627  1001110011     5653211
 628  1001110100     5653220
 629  1001110101     5653221
 630  1001110110     5653310
 631  1001110111     5653311
 632  1001111000     5653320
 633  1001111001     5653321
 634  1001111010     5654210
 635  1001111011     5654211
 636  1001111100     5654220
 637  1001111101     5654221
 638  1001111110     5654310
 639  1001111111     5654311
 640  1010000000     5654320
 641  1010000001     5654321
 642  1010000010     6543210
 643  1010000011     6543211
 644  1010000100     6543220
 645  1010000101     6543221
 646  1010000110     6543310
 647  1010000111     6543311
 648  1010001000     6543320
 649  1010001001     6543321
 650  1010001010     6544210
 651  1010001011     6544211
 652  1010001100     6544220
 653  1010001101     6544221
 654  1010001110     6544310
 655  1010001111     6544311
 656  1010010000     6544320
 657  1010010001     6544321
 658  1010010010     6553210
 659  1010010011     6553211
 660  1010010100     6553220
 661  1010010101     6553221
 662  1010010110     6553310
 663  1010010111     6553311
 664  1010011000     6553320
 665  1010011001     6553321
 666  1010011010     6554210
 667  1010011011     6554211
 668  1010011100     6554220
 669  1010011101     6554221
 670  1010011110     6554310
 671  1010011111     6554311
 672  1010100000     6554320
 673  1010100001     6554321
 674  1010100010     6643210
 675  1010100011     6643211
 676  1010100100     6643220
 677  1010100101     6643221
 678  1010100110     6643310
 679  1010100111     6643311
 680  1010101000     6643320
 681  1010101001     6643321
 682  1010101010     6644210
 683  1010101011     6644211
 684  1010101100     6644220
 685  1010101101     6644221
 686  1010101110     6644310
 687  1010101111     6644311
 688  1010110000     6644320
 689  1010110001     6644321
 690  1010110010     6653210
 691  1010110011     6653211
 692  1010110100     6653220
 693  1010110101     6653221
 694  1010110110     6653310
 695  1010110111     6653311
 696  1010111000     6653320
 697  1010111001     6653321
 698  1010111010     6654210
 699  1010111011     6654211
 700  1010111100     6654220
 701  1010111101     6654221
 702  1010111110     6654310
 703  1010111111     6654311
 704  1011000000     6654320
 705  1011000001     6654321
 706  1011000010     7543210
 707  1011000011     7543211
 708  1011000100     7543220
 709  1011000101     7543221
 710  1011000110     7543310
 711  1011000111     7543311
 712  1011001000     7543320
 713  1011001001     7543321
 714  1011001010     7544210
 715  1011001011     7544211
 716  1011001100     7544220
 717  1011001101     7544221
 718  1011001110     7544310
 719  1011001111     7544311
 720  1011010000     7544320
 721  1011010001     7544321
 722  1011010010     7553210
 723  1011010011     7553211
 724  1011010100     7553220
 725  1011010101     7553221
 726  1011010110     7553310
 727  1011010111     7553311
 728  1011011000     7553320
 729  1011011001     7553321
 730  1011011010     7554210
 731  1011011011     7554211
 732  1011011100     7554220
 733  1011011101     7554221
 734  1011011110     7554310
 735  1011011111     7554311
 736  1011100000     7554320
 737  1011100001     7554321
 738  1011100010     7643210
 739  1011100011     7643211
 740  1011100100     7643220
 741  1011100101     7643221
 742  1011100110     7643310
 743  1011100111     7643311
 744  1011101000     7643320
 745  1011101001     7643321
 746  1011101010     7644210
 747  1011101011     7644211
 748  1011101100     7644220
 749  1011101101     7644221
 750  1011101110     7644310
 751  1011101111     7644311
 752  1011110000     7644320
 753  1011110001     7644321
 754  1011110010     7653210
 755  1011110011     7653211
 756  1011110100     7653220
 757  1011110101     7653221
 758  1011110110     7653310
 759  1011110111     7653311
 760  1011111000     7653320
 761  1011111001     7653321
 762  1011111010     7654210
 763  1011111011     7654211
 764  1011111100     7654220
 765  1011111101     7654221
 766  1011111110     7654310
 767  1011111111     7654311
 768  1100000000     7654320
 769  1100000001     7654321
 770  1100000010    16543210
 771  1100000011    16543211
 772  1100000100    16543220
 773  1100000101    16543221
 774  1100000110    16543310
 775  1100000111    16543311
 776  1100001000    16543320
 777  1100001001    16543321
 778  1100001010    16544210
 779  1100001011    16544211
 780  1100001100    16544220
 781  1100001101    16544221
 782  1100001110    16544310
 783  1100001111    16544311
 784  1100010000    16544320
 785  1100010001    16544321
 786  1100010010    16553210
 787  1100010011    16553211
 788  1100010100    16553220
 789  1100010101    16553221
 790  1100010110    16553310
 791  1100010111    16553311
 792  1100011000    16553320
 793  1100011001    16553321
 794  1100011010    16554210
 795  1100011011    16554211
 796  1100011100    16554220
 797  1100011101    16554221
 798  1100011110    16554310
 799  1100011111    16554311
 800  1100100000    16554320
 801  1100100001    16554321
 802  1100100010    16643210
 803  1100100011    16643211
 804  1100100100    16643220
 805  1100100101    16643221
 806  1100100110    16643310
 807  1100100111    16643311
 808  1100101000    16643320
 809  1100101001    16643321
 810  1100101010    16644210
 811  1100101011    16644211
 812  1100101100    16644220
 813  1100101101    16644221
 814  1100101110    16644310
 815  1100101111    16644311
 816  1100110000    16644320
 817  1100110001    16644321
 818  1100110010    16653210
 819  1100110011    16653211
 820  1100110100    16653220
 821  1100110101    16653221
 822  1100110110    16653310
 823  1100110111    16653311
 824  1100111000    16653320
 825  1100111001    16653321
 826  1100111010    16654210
 827  1100111011    16654211
 828  1100111100    16654220
 829  1100111101    16654221
 830  1100111110    16654310
 831  1100111111    16654311
 832  1101000000    16654320
 833  1101000001    16654321
 834  1101000010    17543210
 835  1101000011    17543211
 836  1101000100    17543220
 837  1101000101    17543221
 838  1101000110    17543310
 839  1101000111    17543311
 840  1101001000    17543320
 841  1101001001    17543321
 842  1101001010    17544210
 843  1101001011    17544211
 844  1101001100    17544220
 845  1101001101    17544221
 846  1101001110    17544310
 847  1101001111    17544311
 848  1101010000    17544320
 849  1101010001    17544321
 850  1101010010    17553210
 851  1101010011    17553211
 852  1101010100    17553220
 853  1101010101    17553221
 854  1101010110    17553310
 855  1101010111    17553311
 856  1101011000    17553320
 857  1101011001    17553321
 858  1101011010    17554210
 859  1101011011    17554211
 860  1101011100    17554220
 861  1101011101    17554221
 862  1101011110    17554310
 863  1101011111    17554311
 864  1101100000    17554320
 865  1101100001    17554321
 866  1101100010    17643210
 867  1101100011    17643211
 868  1101100100    17643220
 869  1101100101    17643221
 870  1101100110    17643310
 871  1101100111    17643311
 872  1101101000    17643320
 873  1101101001    17643321
 874  1101101010    17644210
 875  1101101011    17644211
 876  1101101100    17644220
 877  1101101101    17644221
 878  1101101110    17644310
 879  1101101111    17644311
 880  1101110000    17644320
 881  1101110001    17644321
 882  1101110010    17653210
 883  1101110011    17653211
 884  1101110100    17653220
 885  1101110101    17653221
 886  1101110110    17653310
 887  1101110111    17653311
 888  1101111000    17653320
 889  1101111001    17653321
 890  1101111010    17654210
 891  1101111011    17654211
 892  1101111100    17654220
 893  1101111101    17654221
 894  1101111110    17654310
 895  1101111111    17654311
 896  1110000000    17654320
 897  1110000001    17654321
 898  1110000010    26543210
 899  1110000011    26543211
 900  1110000100    26543220
 901  1110000101    26543221
 902  1110000110    26543310
 903  1110000111    26543311
 904  1110001000    26543320
 905  1110001001    26543321
 906  1110001010    26544210
 907  1110001011    26544211
 908  1110001100    26544220
 909  1110001101    26544221
 910  1110001110    26544310
 911  1110001111    26544311
 912  1110010000    26544320
 913  1110010001    26544321
 914  1110010010    26553210
 915  1110010011    26553211
 916  1110010100    26553220
 917  1110010101    26553221
 918  1110010110    26553310
 919  1110010111    26553311
 920  1110011000    26553320
 921  1110011001    26553321
 922  1110011010    26554210
 923  1110011011    26554211
 924  1110011100    26554220
 925  1110011101    26554221
 926  1110011110    26554310
 927  1110011111    26554311
 928  1110100000    26554320
 929  1110100001    26554321
 930  1110100010    26643210
 931  1110100011    26643211
 932  1110100100    26643220
 933  1110100101    26643221
 934  1110100110    26643310
 935  1110100111    26643311
 936  1110101000    26643320
 937  1110101001    26643321
 938  1110101010    26644210
 939  1110101011    26644211
 940  1110101100    26644220
 941  1110101101    26644221
 942  1110101110    26644310
 943  1110101111    26644311
 944  1110110000    26644320
 945  1110110001    26644321
 946  1110110010    26653210
 947  1110110011    26653211
 948  1110110100    26653220
 949  1110110101    26653221
 950  1110110110    26653310
 951  1110110111    26653311
 952  1110111000    26653320
 953  1110111001    26653321
 954  1110111010    26654210
 955  1110111011    26654211
 956  1110111100    26654220
 957  1110111101    26654221
 958  1110111110    26654310
 959  1110111111    26654311
 960  1111000000    26654320
 961  1111000001    26654321
 962  1111000010    27543210
 963  1111000011    27543211
 964  1111000100    27543220
 965  1111000101    27543221
 966  1111000110    27543310
 967  1111000111    27543311
 968  1111001000    27543320
 969  1111001001    27543321
 970  1111001010    27544210
 971  1111001011    27544211
 972  1111001100    27544220
 973  1111001101    27544221
 974  1111001110    27544310
 975  1111001111    27544311
 976  1111010000    27544320
 977  1111010001    27544321
 978  1111010010    27553210
 979  1111010011    27553211
 980  1111010100    27553220
 981  1111010101    27553221
 982  1111010110    27553310
 983  1111010111    27553311
 984  1111011000    27553320
 985  1111011001    27553321
 986  1111011010    27554210
 987  1111011011    27554211
 988  1111011100    27554220
 989  1111011101    27554221
 990  1111011110    27554310
 991  1111011111    27554311
 992  1111100000    27554320
 993  1111100001    27554321
 994  1111100010    27643210
 995  1111100011    27643211
 996  1111100100    27643220
 997  1111100101    27643221
 998  1111100110    27643310
 999  1111100111    27643311
1000  1111101000    27643320
1001  1111101001    27643321
1002  1111101010    27644210
1003  1111101011    27644211
1004  1111101100    27644220
1005  1111101101    27644221
1006  1111101110    27644310
1007  1111101111    27644311
1008  1111110000    27644320
1009  1111110001    27644321
1010  1111110010    27653210
1011  1111110011    27653211
1012  1111110100    27653220
1013  1111110101    27653221
1014  1111110110    27653310
1015  1111110111    27653311
1016  1111111000    27653320
1017  1111111001    27653321
1018  1111111010    27654210
1019  1111111011    27654211
1020  1111111100    27654220
1021  1111111101    27654221
1022  1111111110    27654310
1023  1111111111    27654311
1024 10000000000    27654320


The maximum possible 2-digit number is 212, the maximum possible 3-digit number is 3212, the maximum possible 4-digit number is 43212, etc., and up to, e.g., the longest 4-digit number, it will always choose representations that are at most 4 digits; therefore, the representation will be one that requires fewest digits. However, there are sometimes multiple representations with the fewest digits; e.g., 18 = 12102 = 20102.
~ chri d. d. /tʃɹɪ.di.di/ (Phonotactics, schmphonotactics) · she · Forum game scores
mittfh wrote:I wish this post was very quotable...

Cradarc
Posts: 455
Joined: Fri Nov 28, 2014 11:30 pm UTC

Re: "super" binary number system

Postby Cradarc » Sun Feb 21, 2016 8:39 am UTC

Thanks Chridd. It handles the duplicate representations in the way I want. The only issue I have is the subtraction part. That looks costly because it requires converting the digit in question into a binary value.

Flumble wrote:I don't really see the point of replacing k bits ahead by a digit with 2^k+2 values.

Try to perform binary multiplication of two (normal) binary numbers. Instead of carrying when you need to, keep the overflow in the same bin. The result will still be the product, but in "super" binary. Call this the raw product. If you know the length of the two factors, you can use the raw product to set up a systems of equations involving the digits of the factors.
Given the normal binary representation of the product, how do we make guesses for the raw product? An intermediate step is to transform it into some standardized representation (ie. CSBR), and then see how we can use the CSBR to systematically work out good candidates for the raw product.
This is a block of text that can be added to posts you make. There is a 300 character limit.


Return to “Mathematics”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 12 guests